Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на 3-х разных примерах покажем, как способом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты приx во 2-ой и третьей строках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строчкой:

Сейчас обнулим коэффициент при y в третьей строке, домножив вторую Примеры решения СЛАУ методом Гаусса строчку на 6 и вычитая из неё третью:

В итоге мы привели начальную систему к треугольному виду, тем окончив 1-ый шаг метода.

На втором шаге разрешим приобретенные уравнения в оборотном порядке. Имеем:

z = -1 из третьего;

y = 3 из второго, подставив приобретенное z;

x = 2 из первого, подставив приобретенные z и y.

В случае, если Примеры решения СЛАУ методом Гаусса число уравнений в совместной системе вышло меньше числа неведомых, то тогда ответ будет записываться в виде базовой системы решений.

Пример 2. Решить неопределенную СЛАУ 4-го порядка:

В итоге простых преобразований над расширенной матрицей системы

начальная система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неведомых:

Потому общее решение системы: x Примеры решения СЛАУ методом Гаусса2=5x4–13x3–3; x1=5x4–8x3–1. Если представить, к примеру, что x3=0, x4=0, то найдем одно из личных решений этой системы x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.

Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.

Условие:

х1 – 2х2 – х3 + х4 = 1

х1 – 8х2 – 2х3 – 3х4 = -2

2х1 + 2х2 – х3 + 7х4 = 7

х1 + х2 + 2х3 + х4 = 1

Перепишем систему Примеры решения СЛАУ методом Гаусса линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4х5, слева от разделительной полосы стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

1 -2 -1 1 | 1

1 -8 -2 -3 | -2

2 2 -1 7 | 7

1 1 2 1 | 1

Проведём последующие деяния:

1 из 2-ой строчки вычтем первую строчку (cтрока 2 – строчка 1);

2 из третьей строчки вычтем первую строчку, умноженную на 2 (cтрока 3 . 2*строчка 1)

3 из четвертой строчки вычтем первую строчку Примеры решения СЛАУ методом Гаусса (cтрока 4 – строчка 1).

Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 6 1 5 | 5

0 3 3 0 | 0

Проведём последующие деяния:

1 к третьей строке прибавим вторую строчку (строчка 3 + строчка 2);

2 четвертую строчку поделим на 3 (строчка 4 = строчка 4 / 3).

Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

0 1 1 0 | 0

Проведём последующие деяния:

1 четвертую строчку поставим на место 2-ой строчки;

2 третью строчку поставим на место четвертой строчки;

3 вторую строчку поставим на место третьей строчки. Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 -6 -1 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

К третьей Примеры решения СЛАУ методом Гаусса строке прибавим вторую строчку, умноженную на 6 (строчка 3 + (2 строчка*6)). Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 5 -4 | -3

0 0 0 1 | 2

Проведём последующие деяния:

1 к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строчка 3 + 4*строчка4);

2 из первой строчки вычтем четвертую строчку (строчка 1 – строчка 4);

3 третью строчку поделим на 5 (строчка 3 = строчка 3 / 5).

Получим:

1 -2 -1 1 | 1

0 1 1 0 | 0

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

Проведём последующие деяния:

1 из 2-ой строчки вычтем третью строчку (строчка 2 – строчка 3);

2 к первой строке прибавим третью Примеры решения СЛАУ методом Гаусса строчку (строчка 1 + строчка 3)

Получим:

1 -2 0 0 | 0

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

К первой строке прибавим вторую строчку, умноженную на 2 (строчка 1 + 2*строчка 2). Получим:

1 0 0 0 | -2

0 1 0 0 | -1

0 0 1 0 | 1

0 0 0 1 | 2

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

х1 = -2

х2 = -1

х3 = 1

х4 = 2


Заключение

При рассмотрении способа Гаусса, также решения примеров, при помощи этого способа были выявлены последующие Примеры решения СЛАУ методом Гаусса достоинства:

1 при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неведомых более трёх способ Гаусса не таковой массивный, как способ Крамера, так как при решении способом Гаусса нужно меньше вычислений;

2 способом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, другими словами, имеющие общее решение (и мы разберём их на Примеры решения СЛАУ методом Гаусса этом уроке), а, используя способ Крамера, можно только констатировать, что система неопределённа;

3 способом Гаусса можно решать системы линейных уравнений, в каких число неведомых не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);

4 способ Гаусса основан на простых (школьных) способах - способе подстановки неведомых и способе сложения уравнений, которых мы задели в Примеры решения СЛАУ методом Гаусса соответственной статье.

5 способ Гаусса является основой 1-го из способов нахождения оборотной матрицы.

Как следует, этот способ является более удобым и удобным, при решении систем линейных уравнений.


Перечень литературы:

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов. - М.: Учеб. пособие, 1998.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Учеб Примеры решения СЛАУ методом Гаусса. пособие, 1968.

3. Справочник по арифметике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова // Инфра-М, Москва – 2009.


primeri-vipolneniya-zadaniya-21s2.html
primeri-vneshnego-vida-sotrudnikov-fs-s-narusheniyami-standartov.html
primeri-voprosov-zadanij-biletov.html