Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3

Решить уравнение sin5x cos3x = sin9x cos7x.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

1/2(sin8x + sin2x) = 1/2(sin16x + sin2x);

sin8x = sin16x;

sin16x - sin8x = 0, сейчас используем Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3 формулу различия синусов:

2cos12x sin4x = 0.

Откуда cos12x = 0 либо sin4x = 0.

Из первого cos12x = 0, 12x = π/2 + πn, x = (1 + 2n)π/24 (n ∈ Z).

Из второго sin Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 34x = 0, 4x = πm, x = πm/4 (m ∈ Z).

Ответ: x = (1 + 2n)π/24 либо x = πm/4.

Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем последующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3 = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos4x(2cos2x + 1) = 0.

Имеем два варианта:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).

2cos2x + 1 = 0 либо cos2x = -1/2, откуда 2x Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3 = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 либо x = ±π/3 + πm.

Решить уравнение cos5x = cos2x.

Переносим в одну сторону и применяем Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3 формулу различия косинусов:

-2sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

sin(7x/2)sin(3x/2) = 0;

Откуда или sin(7x/2) = 0, или sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn либо x = 2πn/7 (n ∈ Z Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3).

Из второго: 3x/2 = πn либо x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 либо x = 2πm/3.

Решить уравнение sin3x - 2cos2xsinx = 0.

Для начала отметим, что можно вынести sinx Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 3 за скобки:

sinx(sin2x - 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два варианта:

sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).

sin2x - 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos Примеры решения тригонометрических уравнений и неравенств, часть 32x ≠ 0 и получаем:

tg2x - 2 = 0;

tg2x = 2;

tgx = ±√2;

x = ±arctg√2 + πm.

Ответ: x = πn либо x = ±arctg√2 + πm.

Первоисточник: easymath.com.ua


primeri-zadach-s-resheniyami-po-teme-sposobi-virazheniya-koncentracij-rastvorov.html
primeri-zadanij-gruppam-pri-organizacii-uchebnogo-sotrudnichestva-na-logopedicheskih-zanyatiyah-v-ramkah-programmi-uchis-uchitsya.html
primeri-zadanij-promezhutochnogo-itogovogo-kontrolya.html