Примеры выполнения типового расчета

Геометрические приложения определенных интегралов

Теоретическое введение

При помощи определенного интеграла можно решить ряд геометрических задач.

6.1.1 Вычисление площадей плоских фигур
При помощи определенного интеграла можно отыскать площадь плоской области, ограниченной снизу и сверху 2-мя кривыми у = f1(х), у = f2(х) и f1(x) ≤ f2(x) при а ≤ х ≤ b, где f1(x) и Примеры выполнения типового расчета f2(х) – две непрерывные функции (рис. 1). Площадь таковой области равна:

(1)


Рис. 1

Формула (1) сохраняет собственный вид и в случае, когда функции у = f1(х), у = f2(х) принимают отрицательные значения во всем интервале либо в некой его части.

6.1.2 Вычисление объемов
Другой принципиальной геометрической задачей, при решении которой употребляется Примеры выполнения типового расчета определенный интеграл, является нахождение объёма тела.
Объем тела вращения вокруг оси Ох.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функцией у = f(х) при a ≤ x ≤ b, прямыми х = a, х = b и осью Ох, крутится вокруг оси Ох. В данном случае объем тела вращения равен:

(2)


Объем тела вращения вокруг Примеры выполнения типового расчета оси Оy.
Пусть сейчас криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции у = f(х) при a ≤ x ≤ b, прямыми х = a, х = b и осью Ох, крутится вокруг оси Оy (а ≥ 0). Объем приобретенного тела вращения рассчитывается по формуле:

(3)

Замечание. При вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной 2-мя горизонтальными прямыми у Примеры выполнения типового расчета = c , у = d, осью Оу и графиком функции х = φ(у), получим тело вращения, объём которого определяется по формуле (2), если поменять ролями х и у (c < d) (рис. 2):

(4)


Рис. 2

6.1.3 Длина дуги кривой
Другим принципиальным применением определенного интеграла является вычисление длины дуги кривой, которая может быть задана в прямоугольных координатах Примеры выполнения типового расчета при помощи функции у = f(x).
Пусть дуга кривой АВ задана уравнением у = f(х), a ≤ x ≤ b, А(a, f(a)), B(b, f(b)). Разобьём дугу на n случайных частей точками M0 = А, М1, М2, ..., Мn = В с абсциссами а = х0, x1, x2, ..., хn = b, соединим Примеры выполнения типового расчета эти точки хордами и получим некую ломаную линию M0 M1 M2 ... Mn (рис. 3).


Рис. 3


Определение. Длиной lAB дуги АВ кривой именуется предел последовательности длин ломаных при стремлении к нулю длины λ ее большего звена, если этот предел существует, конечен и не находится в зависимости от метода разбиения кривой, т.е.

Сама Примеры выполнения типового расчета кривая в данном случае именуется спрямляемой.
Можно показать, что если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] вкупе со собственной производной, то кривая АВ спрямляема. В данном случае вычислить длину дуги кривой у = f(х), х є [a, b] можно по формуле:

(5)

Содержание типового расчета

1. Вычислить площадь плоской фигуры Примеры выполнения типового расчета, ограниченной данными линиями.
2а. Вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси Ох.
2б. Вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси Оy.
3. Вычислить длину дуги данной кривой.
Замечание. Студент получает задание типа 2а либо 2б зависимо от номера варианта Примеры выполнения типового расчета.

Примеры выполнения типового расчета

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у = 3х2 + 2х и прямой у = 3х+2.
Решение. Создадим чертеж плоской области D, ограниченной графиками функций y = 3x2 + 2x и y = 3x + 2 (рис. 4).


Рис. 4


Найдем точки скрещения параболы у = 3х2 + 2х с осью Ох, тогда имеем:
у = 3х2 + 2х = 0; => х Примеры выполнения типового расчета(3x + 2) = 0, х = 0 и x = .
Найдем также точки скрещения параболы и прямой:
3х2 + 2х = 3х + 2; => 3х2 – х – 2 = 0; => x1 = , x2 = 1 =>
y1 = 3x1 + 2 = 0; y2 = 3x2 + 2 = 5 => A(–2/3; 0), B(1; 5).
Потому что коэффициент при х положителен, то ветки параболы ориентированы ввысь. А прямую у = 3х + 2 построим через две точки А(–2/3; 0) и В(1; 5) (рис. 4).
Используя формулу Примеры выполнения типового расчета (1), вычислим площадь S плоской области:

Ответ: S
Пример 2а. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью Ох, параболой y = 2x2 и прямой y = – x + 3 вокруг оси Ох.
Решение. Для построения чертежа найдем поначалу абсциссы точек скрещения прямой и параболы (рис. 5), решая систему уравнений:

2-ое решение х2 = –3/2 не удовлетворяет условию задачки.
Так Примеры выполнения типового расчета как верхняя граница фигуры составлена из 2-ух разных линий, то объем искомого тела определим как сумму объемов тел вращения, образованных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций, ограниченных:
1) кривой y1 = 2x2, прямой х = 1 и осью абсцисс;
2) прямыми y2 = 3 – x, х = 1 и осью абсцисс.


Рис. 5


Объемы этих тел Примеры выполнения типового расчета вычисляем, используя формулу (2):
,
где нижнему лимиту а первого интеграла соответствует х = 0 (точка скрещения параболы y = 2x2 и оси Ох), а верхнему лимиту с второго интеграла соответствует х = 3 (точка скрещения прямой y = – x + 3 и оси Ох). Как следует,

Ответ:
Пример 2б. Вычислить объём тела, образованного вращением плоской области, ограниченной параболой y = x Примеры выполнения типового расчета2 – 6x + 9 и прямой у = 4х вокруг оси Оу.
Решение. Построим область, ограниченную параболой у = x2 – 6x + 9 и прямой у = 4х (рис. 6). Потому что у = x2 – 6x + 9 = (х – 3)2, то парабола касается оси Ох в точке С с абсциссой х = 3, ветки её ориентированы ввысь. Найдем точки скрещения параболы с прямой:
=> x Примеры выполнения типового расчета2 – 6x + 9 = 4x =>
Точки скрещения имеют координаты А(1, 4), В(9, 36). Эта плоская область D крутится вокруг оси Оу, получим тело вращения, изображенное на рис. 6.


Рис. 6


Объём приобретенного тела вращения равен разности объёмов 2-ух тел, приобретенных от вращения вокруг оси Оу 2-ух криволинейных трапеций, заключенных меж прямыми х = 1, х = 9 и осью Ох, одна Примеры выполнения типового расчета из которых сверху ограничена прямой у = 4х, а другая – параболой у = х2 – 6х + 9. Тогда по формуле (3):
≈ 2681.
Ответ: ≈ 2681.
Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , если – 0.2 ≤ x ≤ 0.1.
Решение. Для вычисления, длины дуги кривой поначалу найдем производную:
.
Тогда ,
и длина дуги равна, согласно формуле (5):

Ответ: l ≈ 0,419.

Оформление отчета

В отчете должны быть представлены все Примеры выполнения типового расчета выполненные расчеты, по задачкам 1 и 2 – аккуратненько выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получены с 3-мя означающими цифрами.


primeri-sostavlennih-detmi-skazok.html
primeri-sravneniya-ponyatij-bolnimi-s-iskazheniem-processa-obobsheniya.html
primeri-strategicheskogo-videniya-organizacii.html